您好！关于第四次合同到期单位不续签的问题：
1. 已连续订立两次固定期限劳动合同后的权利：根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同且劳动者没有法定解除情形的，续订劳动合同时劳动者提出或同意续订的，除劳动者要求订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。您已签订四次合同，完全符合无固定期限劳动合同的条件。
2. 单位不续签的法律后果：如果单位在合同到期后不再续签而终止劳动关系，属于违法终止劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，应当按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
3. 您的权利：要求单位签订无固定期限劳动合同；如果单位拒绝并终止劳动关系，要求支付违法终止的赔偿金（工作年限每满一年赔偿两个月工资）。
4. 建议：书面要求单位签订无固定期限合同并保留证据；如单位拒绝，申请劳动仲裁要求继续履行合同或支付赔偿金。
