已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。
如果没有签订的法律责任
第八十二条 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
2、国家法律还规定社保缴纳是自员工入职当月就开始缴纳，所以你们也是违法的，这个员工可以要求你们补缴
3、试用期开除员工也是有条件的，如果不能证明员工不符合岗位要求开除员工是需要支付补偿金的
4、如果你们涉及到违法开除还要支付双倍补偿金作为赔偿
