【问题解析】
变更单位名称后，
劳动合同的签订日期还可以是原来的日期。
根据《
民法典》规定，用人单位变更名称、法定
代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。
用人单位与
劳动者协商一致，可以变更劳动合同约定的内容。
变更劳动合同，应当采用
书面形式。
变更后的劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。
【法律依据内容】
《
劳动合同法》第十条
建立
劳动关系，应当订立书面劳动合同。
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。
第十九条
劳动合同期限三个月以上不满一年的，
试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。
同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。
以完成一定工作任务为期限的劳动合同或者劳动合同期限不满三个月的，不得约定试用期。
试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。
第三十九条
劳动者有下列情形之一的，用人单位可以
解除劳动合同：
（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；
（二）严重违反用人单位的规章制度的；
（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使
劳动合同无效的；
（六）被依法追究
刑事责任的。
第四十条
有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个
月工资后，可以解除劳动合同：
（一）劳动者患病或者非
因工负伤，在规定的
医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
（二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
（三）劳动
合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
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