租赁的房屋被抵押承租人能否继续承租

能。抵押权设立前，抵押财产已经出租并转移占有的，原租赁关系不受该抵押权的影响。也就是说如果债权人(抵押权人)为了实现抵押权而出卖债务人的房屋后，新的房主不能要求承租人搬出房屋，俗称买卖不破租赁。但需要注意的是，要实现租赁关系不受抵押权影响是有前提条件的，即房屋租赁合同的签订以及承租人占有使用房屋均早于抵押权的设立。
签了租房合同不到期不给退押金的处理办法是：
1、如果租赁合同没有明确押金的性质或规则，则押金作为租赁预付款处理，无论如何都要返还的。
2、当事人交付留置金、担保金、保证金、订约金、押金或者订金等，但没有约定定金性质的，当事人主张定金权利的，人民法院不予支持。
3、除合同另有约定外，房东应于租赁关系消除且租客迁空、点清并付清所有应付费用后的当天将租房押金全额无息退还租客。
4、租房期间有财产损失可以相应扣除押金，押金在扣除财物损失后应该退还。
5、在投有明确约定押金性质的情况下，押金的作用是为房屋及屋内财产设定的一个担保，租赁期间如造成出租人房屋及室内设施的财产损失则从押金里扣除。
6、如投有造成该损失则合同期满或者解除合同时应予退还。
7、租房押金不退的问题可以双方协商解决，如协商不成，可以收集证据，向法院起诉。

《中华人民共和国民法典》第四百零五条
【抵押权与租赁权的关系】抵押权设立前，抵押财产已经出租并转移占有的，原租赁关系不受该抵押权的影响。
《中华人民共和国民法典》第三百九十四条
【抵押权的定义】为担保债务的履行，债务人或者第三人不转移财产的占有，将该财产抵押给债权人的，债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现抵押权的情形，债权人有权就该财产优先受偿。
前款规定的债务人或者第三人为抵押人，债权人为抵押权人，提供担保的财产为抵押财产。