爷爷死后，奶奶再婚，继爷爷无儿无女，奶奶去世后一直由我父亲每月付赡养费，现在父亲

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要看爷爷奶奶有没有其他子女，以及孙子有没有赡养能力。如孙子的爷爷奶奶子女已经死亡或者无力赡养，则有负担能力的孙子具有赡养义务。
《民法典》第一千零七十四条 有负担能力的祖父母、外祖父母，对于父母已经死亡或者父母无力抚养的未成年孙子女、外孙子女，有抚养的义务。
有负担能力的孙子女、外孙子女，对于子女已经死亡或者子女无力赡养的祖父母、外祖父母，有赡养的义务。

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根据你的问题解答如下, 【法律意见】
爷爷奶奶对孩子没有法定的抚养义务；
即使母亲改嫁，孩子仍然由母亲抚养。因为母亲是孩子的当然监护人。
【法律依据】
《中华人民共和国民法总则》
第二十七条　父母是未成年子女的监护人。未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：

（一）祖父母、外祖父母；

（二）兄、姐；

（三）其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。