代驾司机与代驾公司之间是不是存在劳动关系

结论：是的。
解析：
仅从构成要件来看，雇佣关系与劳动关系存在相似之处，都以劳务获得劳动报酬，都接受用人方的管理；
但劳动关系区别于雇佣关系之处在于，劳动关系中的劳动者表现出更强的人身依附性，劳动者隶属于用人单位。
相比之下，雇佣关系中雇员对雇主的人身依附性不强，管理也不如劳动关系严格，也无办理社会保险的义务。
从代驾公司对代驾司机进行选任、管理、较弱的人身依附性以及未办理社会保险等方面进行考量，代驾公司与代驾司机之间应成立雇佣关系。
法律依据：
《关于确立劳动关系有关事项的通知》规定：
用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，一般认为同时具备以下三种情形的，则劳动关系成立：
（一)用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；
（二)用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；
（三)劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。