第四次签订固定期限劳动合同可以吗？

这要看你是否符合劳动合同法规定的签无固定期限劳动合同条件。
劳动合同法规定的条件是：
劳动合同法· 第十四条　无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。
用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
（一）劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
（二）用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
如果你·符合第三款规定，可以可以要求签订无固定期限劳动合同。

根据规定第四次签订固定期限劳动合同可以要求签订无固定期限劳动合同。如果公司不与你续签任何类型的劳动合同，你应该获得经济补偿金，具体标准是每工作一年补偿一个月工资；如果公司不与你签订无固定期劳动合同，则当你申请仲裁或提起诉讼寻求救济时，当地劳动仲裁机构或者法院一般会裁决用人单位与劳动者签订无固定期限的劳动合同。在用人单位不执行生效裁决而给劳动者造成损失的情况下，劳动者可以要求用人单位承担赔偿责任。