爷爷留下了遗嘱了，对于申请笔迹鉴定由谁提出呢？

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一，在民事诉讼中，当事人不仅要就自己提出的主张向人民法院提供证据予以证明，还应当对自己所提供证据的真实性、关联性、合法性负责。本案中，原告方提供的欠条本身并不能证明其与被告有联系，只有被告认可欠条是自己所出具的，或者有证据证明欠条是被告所出具的，人民法院才能认定原、被告之间存在债权债务关系。因此，在这一债权债务关系不能认定的情况下，应由原告方继续举证，即由原告提出鉴定申请，而不应由被告提出鉴定申请。当然被告对原告提出的鉴定申请，负有协助鉴定的义务，应如实提供自己的笔迹。如果被告拒不按照人民法院的通知协助鉴定的，那么，人民法院即可以此推定原告提供的欠条是被告出具的案件事实存在，从而判令被告偿还所欠原告债务。
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二，从法律理论上进行分析，本案原告提供的欠条属补强证据，该欠条只有与笔迹鉴定相互印证，才能证明原告主张的案件事实存在。此外，原告认为欠条是被告出具的，而被告则认为该欠条不是被告出具的，我们对照待证事实分类说对当事人之间的这一争执进行分析，本案原告积极主张被告欠款事实的成立，该主张的事实属积极意义上的案件事实，被告则积极主张欠款事实不成立，该主张的事实属消极意义上的案件事实。因此，原告应积极履行诉讼行为，提出鉴定申请。
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三，最高人民法院《关于民事诉讼证据的若干规定》第七十三条规定：“ 双方当事人对同一事实分别举出相反的证据，但都没有足够的依据否定对方证据的，人民法院应当结合案件情况，判断一方提供证据的证明力是否明显大于另一方提供证据的证明力，并对证明力较大的证据予以确认。因证据的证明力无法判断导致争议事实难以认定的，人民法院应当依据举证责任分配的规则作出裁判。”一方提供的证据的证明力“明显大于”另一方提供的证据的证明力，人民法院即可确认证明力较大的证据的效力。从最高人民法院这一司法解释的规定可以看出，我国人民法院在审理民事案件过程中，对案件事实的认定，采用的是盖然性的证明标准。当事人庭审中的举证、质证以及辩论程序，是对裁判法官的说服过程，一方当事人通过举证、质证和辩论活动，让裁判法官对其提出的案件事实予以认定或否定，该当事人的举证责任方告完成，否则仍应承担继续举证责任。