他醒来的时候已经被人送到医院了，肇事司机撞完他以后竟然跑了，后来自己去派出所自首了，这起事故的责任应当由谁来认定？赔偿的问题应该怎么解决呢？

1、先由交警进行事故责任认定。2、根据责任认定情况，双方可协商赔偿事宜，也可申请交警调解。但这并不是强制的。3、协商不成的，受害人可以向法院起诉要求赔偿。按人身损害赔偿的相关标准处理：受害人遭受人身损害，因就医治疗支出的各项费用以及因误工减少的收入，包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费，赔偿义务人应当予以赔偿。受害人因伤致残的，其因增加生活上需要所支出的必要费用以及因丧失劳动能力导致的收入损失，包括残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费，以及因康复护理、继续治疗实际发生的必要的康复费、护理费、后续治疗费，赔偿义务人也应当予以赔偿。