在他担任经理期间,他利用职务之便,在与相关单位业务来往过程中,先后受贿一万元,会构成犯罪吗？

涉嫌犯罪，应当承担刑事责任。

构成犯罪了。

刑法第三百八十三条第二款规定：个人贪污数额在五千元以上不满五万元的，处一年以上七年以下有期徒刑；情节严重的，处七年以上十年以下有期徒刑。个人贪污数额在五千元以上不满一万元，犯罪后有悔改表现、积极退赃的，可以减轻处罚或者免予刑事处罚，由其所在单位或者上级主管机关给予行政处分。