双方在哪些情况下可向当地法院提起诉讼

1.民事方面，若符合起诉条件就能向法院诉讼。
这些条件包括原告和案件有直接利害关系、有明确被告、有具体诉求和事实理由，且属于法院受理范围和管辖。
常见的合同、侵权纠纷就适用。
2.刑事方面，自诉案件里被害人、法定代理人或近亲属能起诉，如侮辱诽谤案（严重危害社会秩序和国家利益除外）、暴力干涉婚姻自由案等。
3.行政方面，公民、法人等认为行政机关及其人员的行为侵害合法权益，可起诉，像不服行政处罚、行政许可等行为。

案情回顾:

小朱与小李签订买卖合同，小李未按约定交付货物，小朱多次催要无果。小朱认为小李的行为构成违约，给自己造成了经济损失，决定向法院起诉小李。与此同时，小胡被小许侮辱，小胡决定以侮辱罪向法院提起自诉。另外，小静认为某行政机关的行政处罚侵犯其合法权益，也准备向法院起诉该行政机关。

案情分析:

1、小朱提起的合同纠纷诉讼，符合《民事诉讼法》规定的起诉条件，其作为原告与本案有直接利害关系，被告小李明确，有要求小李交付货物并赔偿损失的具体诉讼请求及事实理由，且属于法院受理民事诉讼范围和受诉法院管辖。
2、小胡提起的侮辱罪自诉，在刑事自诉案件范围内，小胡作为被害人有权向法院起诉。
3、小静认为行政机关行政处罚侵犯其合法权益而起诉，属于行政诉讼范畴，公民认为行政机关行政行为侵犯其合法权益时，有权向法院提起诉讼。