检察院认定打人者涉嫌故意伤害罪

是的，案件是正在由公安机关负责侦查。　　因涉嫌故意伤害罪而被关到看守所的，说明已经由公安机关刑事立案，并由公安机关决定拘留犯罪嫌疑人，现案件属于在公安侦查阶段。　　在公安机关侦查终结后，会向检察移送起诉；再由检察院向法院起诉，最后由法院来审理和判决。