遗产债务纠纷的举证责任由谁承担的

遗嘱继承中举证责任的分配如下：
一、遗嘱继承中的举证责任的分配
(一)遗嘱的形式和内容合法
主张遗嘱继承首先要证明遗嘱确实存在、形式符合法律规定，比如出具自书遗嘱、代书遗嘱，公证遗嘱、紧急情况下的口头遗嘱等。如果对方提出遗嘱是伪造的，比如自书遗嘱上的签名不是被继承人本人签字，认为遗嘱是真实的当事人需要对遗嘱是否真实承担举证责任，比如说提供笔迹鉴定报告。
(二)遗嘱人的民事行为能力
在遗嘱的形式和内容合法后，如果对方对立遗嘱人的民事行为能力提出异议、意思表示受限制提出异议，或者提出遗嘱系篡改，提出此主张的当事人必须对自己的主张提供证据，比如提供立遗嘱人患有相应疾病的医学证明。
(三)多份遗嘱的效力
若立遗嘱人留下多份遗嘱，且内容不一致，遗嘱的订立和遗嘱成立的时间有关，如果继承人因遗嘱成立日期发生争议，对主张根据某遗嘱进行继承的当事人要对遗嘱订立日期负有举证责任。
二、法定继承中存在的举证责任的分配
(一)继承人身份的确认
如果继承人系被继承人的非婚生子女、养子女、继子女、丧偶的女婿、媳妇对岳父、公婆尽到了主要的赡养义务，要求继承遗产，而其他继承人否认其为法定继承人的，应由主张自己有继承权的一方承担举证责任。
(二)继承权的丧失
如果均为法定继承人，对谁丧失继承权存在争议，主张他人无继承权的一方负有举证责任，比如举证继承人有虐待、遗弃被继承人的行为，而且该行为情节严重，或者有为争夺遗产杀害其他被继承人，或者是杀害继承人的行为，有这些行为的继承人将丧失继承权。
(三)继承权的放弃
对是否放弃继承权发生争议的，必须由主张他人放弃继承的一方承担举证责任，我国继承法规定，继承人不表示放弃继承权的，视为继承，除非明确表示自己放弃继承权，而且放弃继承权的行为必须发生在被继承人死亡后;如果是遗赠，受遗赠人必须在两个月内做出接受与否的表示，到期不表示的，视为放弃，如果受遗赠人认为自己没有放弃的，必须对自己接受遗赠进行举证。

赠与合同纠纷举证责任由主张的那方当事人承担。根据《民事诉讼法》第六十四条：当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。
　　当事人及其诉讼代理人因客观原因不能自行收集的证据，或者人民法院认为审理案件需要的证据，人民法院应当调查收集。
　　人民法院应当按照法定程序，全面地、客观地审查核实证据。
　　第六十五条：当事人对自己提出的主张应当及时提供证据。
　　人民法院根据当事人的主张和案件审理情况，确定当事人应当提供的证据及其期限。当事人在该期限内提供证据确有困难的，可以向人民法院申请延长期限，人民法院根据当事人的申请适当延长。当事人逾期提供证据的，人民法院应当责令其说明理由；拒不说明理由或者理由不成立的，人民法院根据不同情形可以不予采纳该证据，或者采纳该证据但予以训诫、罚款。