到下一次交房租,没有交,她又租出去了,说我们违约不给退押金,请问我们能追回押金吗,哪怕一小部分？

书面的房屋租赁合同只是合同的一种形式，是合同的载体而已。从你们两方的做法来看，显然已经就房屋租赁达到一致意见，房屋租赁合同已经奏效。您支给了一个月的房租，并且向房东支给了押金，表明您已经事实上上在履行合同。无签订书面合同，能够视为合同是不定期合同。因为隔壁街坊在阳台上烧烤，另外，阳台漏雨，也严重影响您对房屋的使用，因此提议解除合同的借口成立，解除合同并无不当，并且从平等公正的角度来讲，您只住了一天，房东不退租金是不对的。定金有成商定金，有违商定金等等，如果支付定金的一方违约，是不能拿回定金的。押金跟定金分别，押金的目的不愿意定都是为了保证合同的成立和履行，即使是，但因为无明确是“定金”，按照法律限定，不能适用定金罚则，也就是说，合同解除后，房东应该退还押金。再者，你们都是表面合同，无书面合同，争议的两方要进行举证。现在房东要证明他不退还押金的借口成立。我感觉有难度吧。现实的问题是，钱在房东手里，他不退你们打官司，时间成本很宝贵。建议还是跟房东商量一下，实在不行，就诉讼吧。