父亲去世母亲再婚，母亲是否还具备继承的有关权利呢？

假如没有立遗嘱，则由第一顺位继承人（你父亲的父母，你父亲的子女、你父亲的配偶（卒，不考虑））按人头均分。也就是说如果你爷爷奶奶已过世、你又没有兄弟姐妹的话，那么就是你一个人的。
假如有合法有效的遗嘱（遗嘱效力有明文规定，这里不详述），则法律规定是按遗嘱分配。