海上运输事故责任纠纷的起诉程序是这样的：首先得明确有管辖权的法院，通常情况下，事故发生地、运输的始发地或者目的地的海事法院具备管辖权。
接着要精心准备起诉状，务必清晰写明原告和被告的相关信息，明确提出诉讼请求，详细阐述事故事实的经过以及要求对方承担责任的依据等重要内容。
之后要全力收集相关证据，像运输合同、航海日志这类能直接反映运输情况的资料，还有事故调查报告以及能证明货物受损情况的相关证明等。
然后把起诉状和证据提交给法院，并缴纳诉讼费。
法院受理后会将相关文书送达给被告，被告则要在规定时间内提交答辩状。
之后就进入庭审阶段，双方会依次进行举证、质证以及辩论等程序。
最后，法院会依据事实和法律作出判决。
要是一方对判决不服，在规定期限内可以提起上诉。
