1.我的官司是在异处法院打的，调解书下来后，我应该把这些手续寄给法院的什么具体部门或个人？3.有关申请手续可否要先经过审判法官签字？我可否要向法院垫付执行费？

诉讼中的调解是人民法院和当事人进行的诉讼做法，其调解协议经法院确认，送达两方当事人即具有法律上的效力。如果另一方当事拒不履行调解书商定义务，能够向法院申请强制执行。如果是还钱类似的问题，能够按照法院调解书商定分期还钱执行。
根据《民事诉讼法》第二百三十六条限定，产生法律效力的调解书，当事人必须履行，一方拒却履行的，另一方当事人能够向人民法院申请执行。