根据《中华人民共和国侵权责任法》的规定,商场的经营者或者管理者有义务保障顾客的安全,如果因为商场的设施、管理不善等原因导致顾客受伤,商场经营者或管理者应当承担相应的侵权责任。如果顾客在您租用的商场区域购买商品后,在商场的公共区域摔倒受伤,首先要看摔倒的原因。如果是因为商场公共区域的设施存在缺陷、维护不当或者管理不善导致的,那么商场的经营者或管理者可能需要承担赔偿责任。如果您作为租户,对公共区域的维护和管理没有责任,那么通常不需要您来承担赔偿责任。但是,具体情况需要根据摔倒的具体原因、商场的管理责任分配以及相关证据来确定。建议您咨询专业律师,以便获得更准确的法律意见。我是济南的殷德友律师,如果仍有疑问,欢迎追问或一对一咨询。