按照正常程序来说，请问是先刑事拘留再提请逮捕对吗？

批准逮捕的条件：
1、有证据证明有犯罪事实 ；
2、犯罪嫌疑人所涉嫌的罪可能被判处徒刑以上刑罚；
3、采取取保候审、监视居住等方法，尚不足以防止发生社会危险性，而有逮捕必要。
由公安机关向检察机关提请批准逮捕犯罪嫌疑人，检察机关做出批准逮捕决定，然后由公安机关执行。

先刑事拘留，然后才被依法逮捕是《刑事诉讼法》的规定程序。
根据《刑事诉讼法》的规定，侦查机关（公安机关或检察院）对符合《刑事诉讼法》第八十条 情形之一的犯罪嫌疑人，可以先行采取拘留措施；在对犯罪嫌疑人进行拘留后，经侦查，认为符合逮捕条件的，才可以批准逮捕并由公安机关予以执行。
《刑事诉讼法》
第七十九条 对有证据证明有犯罪事实，可能判处徒刑以上刑罚的犯罪嫌疑人、被告人，采取取保候审尚不足以防止发生下列社会危险性的，应当予以逮捕：
(一)可能实施新的犯罪的；
(二)有危害国家安全、公共安全或者社会秩序的现实危险的；
(三)可能毁灭、伪造证据，干扰证人作证或者串供的；
(四)可能对被害人、举报人、控告人实施打击报复的；
(五)企图自杀或者逃跑的。
对有证据证明有犯罪事实，可能判处十年有期徒刑以上刑罚的，或者有证据证明有犯罪事实，可能判处徒刑以上刑罚，曾经故意犯罪或者身份不明的，应当予以逮捕。
被取保候审、监视居住的犯罪嫌疑人、被告人违反取保候审、监视居住规定，情节严重的，可以予以逮捕。
第八十条 公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：
(一)正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；
(二)被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；
(三)在身边或者住处发现有犯罪证据的；
(四)犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
(五)有毁灭、伪造证据或者串供可能的；
(六)不讲真实姓名、住址，身份不明的；
(七)有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。
第八十七条 人民检察院审查批准逮捕犯罪嫌疑人由检察长决定。重大案件应当提交检察委员会讨论决定。
第八十八条 人民检察院对于公安机关提请批准逮捕的案件进行审查后，应当根据情况分别作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。对于批准逮捕的决定，公安机关应当立即执行，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于不批准逮捕的，人民检察院应当说明理由，需要补充侦查的，应当同时通知公安机关。