对于已经被警察抓获肇事逃逸司机具体解决措施

你说的情况不构成交通肇事罪。你们之间只是交通事故，责任认定后，各自承担应承担的赔偿责任。
如果有证据证明对方超速飙车，构成犯罪了，另案处理，与和你交通事故不一回事。

普通的交通事故，不构成交通肇事罪（交通肇事罪，是指违反道路交通管理法规，发生重大交通事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失，依法被追究刑事责任的犯罪行为。）的，司机逃逸后，一般情况下逃逸的司机要承担全部责任，也就是负责事故中造成的所有损失。这种情况下，由于不构成犯罪，逃逸司机只需根据公安机关的责任认定承担相应的赔偿费用就可以了