继母与祖父母争夺监护权应该怎么处理

解析：
父母乃是未成年子女的法定监护人身份，即便他们婚姻破裂、夫妻离异，这一监护职责亦不会因此而改变。
然而，若父母中的一方或两方在作为子女监护人的过程中，对孩子的权益和福祉带来严重的危害和负面影响，那么法院有权撤销其监护人的资格。
此外，在某些特殊情况下，如父母由于正当原因无法亲自履行监护职责时，我国的司法实践也允许父母将部分或全部监护责任委托他人代理，尽管如此，父母仍然是法定监护人。
关于监护人的变更问题，根据我国相关法律法规，当监护人去世或失去监护能力，或者监护人未能尽职尽责地履行监护义务，导致未成年人受到伤害时，未成年人的近亲家属有权向法院提出申请，请求法院变更监护人。
在法律许可的范围内，监护人之间也可以通过签订变更协议来更换监护人。
法律依据：
《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条
非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。
不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。
第一千零七十二条
继父母与继子女间，不得虐待或者歧视。
继父或者继母和受其抚养教育的继子女间的权利义务关系，适用本法关于父母子女关系的规定。
第一千零七十三条
对亲子关系有异议且有正当理由的，父或者母可以向人民法院提起诉讼，请求确认或者否认亲子关系。
对亲子关系有异议且有正当理由的，成年子女可以向人民法院提起诉讼，请求确认亲子关系。
第一千零七十四条
有负担能力的祖父母、外祖父母，对于父母已经死亡或者父母无力抚养的未成年孙子女、外孙子女，有抚养的义务。
有负担能力的孙子女、外孙子女，对于子女已经死亡或者子女无力赡养的祖父母、外祖父母，有赡养的义务。