拘留只能让公安机关执行的吗？

结论：是的。
解析：
是的，对刑事案件的侦查、拘留、执行逮捕、预审，由公安机关负责。
检察、批准逮捕、检察机关直接受理的案件的侦查、提起公诉，由人民检察院负责。
审判由人民法院负责。
除法律特别规定的以外，其他任何机关、团体和个人都无权行使这些权力。
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。
在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。
法律依据：
《刑法》第八十五条，公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。