故意伤害罪是公诉案件还是自诉案件

两者不是一回事。
公诉与自诉的区别：
（1）自诉是被害人直接向法院提起诉讼；公诉则由代表国家的检察长或检察员向法院提起诉讼。
（2）自诉程序上被害人是原告；公诉程序上检察长或检察员居原告地位，而被害人则处于证人地位。
（3）自诉案件不论在审判前或审判中，当事人随时可以撤回起诉，自行和解，审判员可以当庭进行调解，被告人在自诉人提出的范围内可以提出反诉；公诉案件则不能以调解、和解的方法解决，被告人不能向公诉人提出反诉。但是检察长或检察员如果认为已提起的公诉根据不足，可以撤回起诉。