该律师所解释之申诉审实与我所理解之申诉审有着极大之落差,请问律师们-该律师所述是否合理?

我公司于天津市之一案件,由于工作人员疏忽迟误上诉期限,于是委托当地律师申请再审（该律师于签订合同时表示可提再审），双方签订代理合同，合同注明由该律师代理该案件之申诉审，签订后该律师表示由检察官提起抗诉较为有利，我司亦同意，经向天津市某区检察院提起抗诉，该区检查院不同意并建议由市检察院提起抗诉，于是我公司又出具一份申诉书由该律师提交市检察院至今市检察院未回复是否同意提起抗诉。
该律师现向我公司提出应再支付代理费，理由是天津市某区检察院驳回我公司申请后,一个申诉审已结束,再向市检察院申请抗诉是另一个申诉审，所以应再支付代理费，该律师所解释之申诉审实与我所理解之申诉审有着极大之落差,请问律师们-该律师所述是否合理。